Анотація: Розглядаються теорема Муавра-Лапласса і формули Бернуллі і Пуассона.

Розглянемо приклад. Нехай Хтось кинув монетку два рази. Вважаючи кожен результат "орел" - "решка" равновероятности і незалежним від попереднього результату, отримаємо наступні варіанти результатів:

.

де позначено поява - "решки" та - "орла". Зрозуміло, що при цьому , Так як поява "орла" або "решки" події рівноімовірні. Для зручності введемо позначення . Очевидно, що .

Нехай тепер монету кидають 3 рази. тепер можливі різних варіантів наслідків:

Можна переконатися самостійно, що, якщо монетку кидати 4 рази, то вийде різних ймовірних комбінацій.

Розмірковуючи далі, маємо, що в разі випробувань Хтось отримає одну з комбінацій результатів.

Так як випробування незалежні, то, застосовуючи теорему множення ймовірностей знайдемо ймовірності кожного з проведених випробувань ( табл. 5.1 для ; табл. 5.2 для ).

проаналізуємо табл. 5.2 більш детально. Зауважимо, що не поява події А в усіх трьох випробуваннях має ймовірність , Відповідну тільки одного єдиного результату . Тоді ймовірність, появи події А один раз відповідає (див. Табл. 3)

Аналогічно, ймовірність появи 2-х раз А буде дорівнює.

І, нарешті, якщо подія А відбулося все три рази, то

Можна переконатися, що ці події утворюють повну групу, тобто

Якщо розглянути ймовірність , Ймовірність появи подію-ку А m раз в n випробуваннях, то, розмірковуючи так, як це було представлено раніше отримаємо формулу

яка відома як формула Бернуллі .Ця формула визначає ймовірність появи події А раз в випробуваннях. У формулу входить коефіцієнт , Який читається як число поєднань з результатів по раз. Більш коротко число поєднань з по . Обчислюється за простою формулою:

Приклад 1. У ящику лежать 20 білих і 10 чорних кулі. 4 рази витягали куля, причому після кожного разу взятий куля повертався в ящик і всі кулі ретельно перемішувалися. Знайти ймовірність того, що 2 рази з 4-х був витягнутий біла куля.

Рішення. Вирішимо задачу двома способами.

1 спосіб. позначимо подію - "витягли біла куля", - "витягли чорна куля". Тоді розглянемо всі можливі комбінації появи куль. Таких комбінацій буде :

Нас цікавлять тільки ті результати, в яких з'являються по 2 рази білі і чорні кулі. Всього таких результатів 6. Імовірність витягнути біла куля в кожному з випробувань, так як за умовою завдання кулька після випробування повертається в ящик. Аналогічно обчислюємо ймовірність вилучення чорного кульки . Підрахуємо тепер шукану імовірність-ність: ,

де 6 - кількість сприятливих результатів; - імовірність-ність появи білої кулі в будь-яких 2-х випробуваннях; - ймовірність появи чорного кулі в будь-яких 2-х випробуваннях.

2 спосіб. Для вирішення скористаємося формулою Бернуллі (1):

Як бачимо відповіді збігаються, проте перший спосіб не завжди зручний в застосуванні. Особливо, якщо мова йде про значну кількість випробувань.

Приклад 2. Ймовірність влучення стрілка в ціль 0,8. Стрілок робить 10 пострілів. Знайти ймовірність, що мета буде вражена 8 разів.

Рішення. Для вирішення завдання скористаємося формулою Бернуллі:

Можна легко переконатися в справедливості наступних рівностей:

Всі ці формули є окремим випадком формули (1).

при випробуваннях деяка подія, що має ймовірність може з'явитися кілька разів, однак, якщо позначити - найменшу кількість разів поява деякої події при випробуваннях, то отримаємо

Очевидно, що виконується при , Тобто - це гарантоване число появ події при випробуваннях. Іншими словами, поява події більшу кількість разів або менше буде менш імовірним, ніж . якщо і , Тоді можна записати

де - найімовірніше число появи події А при випробуваннях; - ймовірність появи події А при одному випробуванні; .

якщо і не цілі числа, то тоді вони округлюються до найближчого цілого, але так, щоб інтервал не збільшувався.