У школі всі ми вивчали алгебру, тільки про булеву алгебру там не говорили. Чим відрізняється булева алгебра від шкільної, історія її появи, завдання та області застосування описані в даній статті.

Схема, що дозволяє двома вимикачами лампочку в коридорі включити при вході в коридор і вимкнути, увійшовши в кімнату відома дуже давно (див. Коридорна схема управління освітленням ). Вона показана на малюнку 1.

Завдання №1. Складніша. Скласти схему, що дозволяє включати і вимикати світло у вашій кімнаті будь-яким з 3 різних вимикачів. Вимикачі розташовані біля входу в кімнату, над ліжком і письмовим столом.

Завдання № 2.

У спортивному комітеті, наприклад заводському, зібралося 5 суддів.

Кожен з них повинен голосувати за прийняття різних рішень. Рішення приймається більшістю голосів, але тільки за тієї додатковому умови, що за нього голосує голова комітету.

Судді голосують шляхом натискання кнопки, що замикає перемикач, розташований під столом, за яким вони сидять. Замикаючи перемикач, вони голосують «за», розмикаючи «проти». Накресліть найпростішу схему, що дозволяє автоматично бачити результати голосування. У найпростішому випадку просто за допомогою лампочки, - запалилася - рішення прийнято, не запалився, - немає.

Завдання №3. Практично таке малоймовірно, але в якості складної навчальної завдання цілком підійде.

У великій шестикутної кімнаті на кожній стіні встановлено по одному перемикача. Побудуйте таку схему, щоб в будь-який момент можна було включати або вимикати світло в кімнаті поворотом одного (будь-якого) перемикача.

Після того, як ви безрезультатно тривалого очікування над завданнями три-чотири дні, відкладіть їх тимчасово в сторону. І займіться алгеброю Буля. Саме алгебра Буля, або, як її ще називають, булева алгебра, алгебра релейних схем, допоможе вам вирішити складені задачі.

Що ж таке алгебра Буля?

Як не дивно, незважаючи на те, що п'ять років в школі вивчають алгебру, багато учнів, а згодом і дорослі, не зможуть відповісти на питання, а що таке алгебра? Алгебра - це наука, яка вивчає безлічі деяких елементів і дії над ними.

У шкільному курсі алгебри такими елементами є числа. Числа можна позначати не цифрами, а буквами, з цим все знайомі. На перших уроках алгебри це завжди ускладнює багатьох учнів. Згадайте, як важко було спочатку звикнути замість цифр складати букви, вирішуючи нічого не говорять рівняння.

Напевно, кожен з нас тоді ставив собі питання: «Для чого потрібно вводити літери замість цифр і, чи потрібно це взагалі?». І тільки пізніше ви переконалися, які переваги при вирішенні завдань дає алгебра в порівнянні з арифметикою.

Алгебра застосовується в багатьох точних науках. Це фізика, механіка, опір матеріалів, електрику. Закон Ома є не що інше, як рівняння алгебри: досить замість букв підставити їх числові значення, щоб дізнатися який струм буде протікати в навантаженні, або який опір має ділянку ланцюга.

Так ви познайомилися з алгеброю чисел, або з елементарної алгеброю. Основна і майже єдине завдання - отримати відповідь на питання: «Чому дорівнює X? Скільки? »

У старших класах школи вивчають початку векторної алгебри. Ця алгебра принципово відрізняється від елементарної алгебри. У ній скоєно інша природа досліджуваного безлічі і інші правила дій. Вирішуючи векторне рівняння, отримуємо у відповіді вектор, який не є звичайним числом, що відповідає на питання «Скільки?»

Формули векторної алгебри багато в чому відмінні від формул елементарної алгебри. Наприклад, і в елементарній алгебрі і в векторної є операція додавання. Але виконується вона абсолютно по-різному. Додавання чисел виконується зовсім не так, як додавання векторів.

Існують і інші алгебри: лінійна алгебра, алгебра структур, алгебра кілець, алгебра логіки, або, що те ж саме, алгебра Буля. На шкільних уроках ви, напевно, не чули імені Джорджа Буля - зате всім відомо ім'я одного з його талановитих дочок Етель Войнич (1864 - 1960). Вона написала роман «Овід», де розповідається про боротьбу за свої права італійських карбонаріїв.

Джордж Буль народився в Англії 2 листопада 1815 року. Все своє життя він працював учителем математики і фізики в школі. Зі спогадів його учнів відомо, яке величезне значення надавав Буль розвитку творчих здібностей учнів. При викладі нового матеріалу він прагнув до того, щоб його учні самі заново «відкривали» деякі формули і закони.

Розповідаючи учням про труднощі, з якими вчені неминуче стикалися в пошуку істини, вчитель любив повторювати одну східну мудрість: навіть перський трон не може принести людині стільки насолод, як найменше наукове відкриття. Буль ніколи не втрачав надії, що коли-небудь і його учні зроблять справжнє відкриття.

Діапазон наукових інтересів Буля був дуже широкий: в рівній мірі його цікавили математика і логіка - наука про закони і форми мислення. В ті часи логіка вважалася гуманітарною наукою, і багатьох, хто знав Джорджа Буля, дивувало, як в одній людині могли уживатися точні методи пізнання, властиві математики, і чисто описові методи логіки.

Але вченому захотілося зробити науку про закони і форми мислення такий же суворої, як і будь-яка з природних наук, скажімо математика і фізика. Для цього Буль став позначати буквами не числиться, як це робиться в звичайній алгебрі, а висловлювання і показав, що такими рівняннями, дуже схожими з алгебраїчними, можна вирішувати питання про істинність і хибність висловлювань, зроблених людиною. Так виникла алгебра Буля.

Але ще задовго до Джорджа Буля німецький математик і філософ Готфрід Лейбніц (1646-1716) вперше висловив ідею про створення науки, яка позначить всі поняття звичайної розмовної мови символами і встановить деяку нову алгебру для з'єднання цих символів.

Після створення такої науки, на думку Лейбніца, вчені і філософи перестануть сперечатися і перекрикувати один одного, з'ясовуючи істину, а візьмуть в руки олівець і спокійно скажуть: «Давайте-но обчислювати!»

В наші дні алгебра логіки стала найважливішою складовою частиною математики. Одна з її завдань - це рішення всіляких рівнянь, числові співвідношення в яких замінені літерними. Кожен з вас, напевно, на все своє життя запам'ятав, як розв'язувати рівняння другого і третього ступеня з літерними коефіцієнтами. Так ось, Буль у своїй новій алгебри скористався всіма цими формулами і правилами.

Новим в алгебрі Буля є те, що елементи множини, які в ній вивчаються, не є числами, а висловлюваннями. Якщо при вирішенні звичайних алгебраїчних рівнянь визначається, якого числа дорівнює невідоме X, шкільна алгебра шукає відповідь на питання: «Скільки?»

Алгебра логіки шукає відповідь на питання: «Чи правда те чи інше висловлювання, позначене буквою X?»

Сенс і зміст висловлювання тут не грають ніякої ролі. Кожне висловлювання може бути тільки або істинним, або хибним. Воно не може бути наполовину істинним і наполовину хибним. Як приклад можна згадати метання жереба за допомогою монети.

Там розглядаються тільки два стану монети - орел чи решка. За домовленістю сторін орел це ТАК, а решка це НІ. Ніякі інші проміжні положення в теорії ймовірностей не враховуються, хоча вони і можливі. Підкинута монета може впасти на ребро, докотитися по підлозі до ніжки стільця або столу і так і залишитися у вертикальному положенні, а то і взагалі провалитися в широку щілину в підлозі. (За аналогією з електричними схемами дві останніх ситуації можна розглядати як несправність у вигляді обгорілого контакту). Але в ті далекі часи булева алгебра, на жаль, широкого поширення не отримала.

Знову «відкрив» алгебру Буля Клод Шеннон. У 1938 році, будучи ще студентом Массачусетського технологічного інституту і Америці, молодий Клод довів, що алгебра Буля повністю підходить для аналізу і синтезу релейних і перемикачів схем.

За допомогою алгебри Буля можна дуже просто скласти електричну схему автомата, що працює на реле. Для цього, виявляється, потрібно тільки точно знати, що повинен робити автомат, тобто потрібно мати алгоритм його роботи. Так була закладена основа теорії цифрових машин, що діють за принципом ТАК чи НІ.

Така коротенька історія булевої алгебри. У наступних статтях ми розглянемо її основні закони, приклади контактних схем реалізують ці закони. Розглянемо рішення тих завдань, які були наведені на початку статті.

Продовження статті: Булева алгебра. Частина 2. Основні закони і функції

Борис Аладишкін